“……完全解析阿列夫0后，我们深入了阿列夫数的世界，我们似乎从未碰到任何困难，或者说我们能够解决一切困难，超出我们能力范围的事情“神”会在梦里给予我们启示，一直以为这种一往无前是永恒的（事实上也的确如此），直到我们第一次“亲手触摸”到了那名为“阿列夫不动点”的超穷实体……
“神”于梦中之启示——
——历史上，康托尔那里并没有代表数的集合，所谓的等势这个词，一般理解为集合的大小，但这个大小并没有量化，两个集合的元素之间存在一一对应就说两个集合等势，但最多只能说数量一样而非数量多少，阿列夫数在康托那里就是个含糊不清的概念。康托之后，有个叫弗雷格的人用集合定义数，但它那里1就是所有外延为一个个体的概念的类，2就是外延为两个个体的概念的类，可以粗略理解为1就是所有可以表示为一个XX的概念事物的类。罗素悖论针对的就是它的这种定义，数都全是一堆真类了，而在现代，人们继承了两个集合一一对应表示数量一样的理念，特别是在用集合代表数之后，我们说一个集合有n个元素，就等于在说X可以和n一一对应，说一个集合是无穷集，那么它至少是可以和自然数集一一对应，
但是，如果说集合的数量就是与某个数一一对应，
｛0，1，2，……｝=ω
是可以和
｛0，1，2，……，ω｝=ω+1
一一对应的。
只需要定义：
f（n）=n+1，f（ω）=0
在集宇宙中，函数也是一个集合，上面定义的这个f就是一个无穷集，
｛｛ω，0｝，｛0，1｝，｛1，2｝，｛2，3｝，……｝
f（n）=n+1
其实就是｛n，n+1｝的有序对，也直观表现了n和n+1的连线。
这里可以看到，ω中的每个元素都可以和ω+1中的元素配对。
看懂没？
被启示者：……呃，大概懂了……
——好，你下来写个ω和ω+2的一一对应。
被启示者：……{｛0，ω+1｝，｛1，ω｝，｛2，0｝……}。
——对，一个能和ω一一对应的序数也被叫做可数无穷序数，对应的集合则是可数无穷集合。于是，一个集合X即可以和ω一一对应，又可以和ω×ω一一对应，究竟哪个数才是X的数量？
直观上，基数应该具有这种特征：
比它大的数无法和它一一对应。
或者，
比它小的数无法和它一一对应。
在有限序数自然数的情况下，两个定义是等价的，但超限序数的情况下，每个a+1都能对应，所以是不可能的，于是只能选择第二个特征，比它小的序数无法和它一一对应，这样的序数就是基数，比如ω，这也是第一个无穷基数，考虑到所有基数小于等于ω的序数的集合。
再回忆下序数的定义，仅包含所有小于自身的序数的集合，
为了方便之后的讨论，这个点可以被简约为：
如果a属于A，那么a是A的子集——也就是说，a的元素，小于a的序数都是A的元素，也小于A。
考虑到所有基数小于等于ω的序数的集合X，根据序数的定义，该集合仅包含序数，且满足a∈X蕴含a?X，这个集合就也是一个序数。
因为这个序数大于所有可数序数，且仅大于所有可数序数，所以它是下一个无穷基数，
因为比它小的都是可数序数，不可能和它一一对应。
为什么？根据前面的定义，可数序数就是可以和ω一一对应的序数，而这个集合的定义就是大于所有可数序数，与ω一一对应的序数就小于它，而序数不能自己小于自己。
自我包含的集合有，但这样的关系无法模拟数，
这一点概括下就是
“基数小于等于k的所有序数构成的集合”，简记为H(k)，H(k)也就直接指称k之后的下一个无穷基数，可以成为基数的后继运算，像是+1，
比如H(阿列夫n）=阿列夫n+1。
但从ω开始用H(k)是无法得到第ω个无穷基数——阿列夫ω的，这是为什么？、
被启示者：因为阿列夫ω是个强极限基数，H（k）就类似于有限数运算，无法得到ω，自然也得不到阿列夫ω。
——这里没提幂集，不要类比，给我定义推理。
被启示者：阿列夫ω的前面不存在阿列夫ω-1，自然也就不存在H（阿列夫ω-1）=阿列夫ω。
——极限基数的定义是，如果a小于k，那么H(a)小于k，于是阿列夫ω为什么是极限基数，阿列夫ω到底是什么？我们怎么定义阿列夫ω？我们想要阿列夫ω表示第ω个无穷基数，可这是什么序数的集合？我们知道，ω是所有自然数的集合，阿列夫n就表示第1+n个无穷基数，这些都是我们通过H(k)可以得到的，ω是恰好大于所有自然数的序数，我们想要阿列夫ω是恰好大于所有阿列夫n的无穷基数，而不是跳到别的什么东西，那这该是什么序数的集合？
被启示者：阿列夫n的集合？
——阿列夫n的集合不是一个序数，这里要引入一个之后会频繁用到的概念，并集。
{阿列夫n：n∈ω}这个集合中只包含阿列夫数，连0123456都不包含，按序数就是都不大于0123456，显然不符合数。并集公理是说，给定一个集合A，都会存在一个集合B，B仅以A中元素的元素为元素，以这里的{阿列夫n：n∈ω}，其中元素的元素就是阿列夫n的元素，阿列夫1就是比它小的所有序数的集合，阿列夫2同样如此，并且包含阿列夫1。
如果是{阿列夫n：n∈10}，取并集就还只是阿列夫10，因为阿列夫123456789中没有超出阿列夫10的元素，
序数的定义就是，a属于A，a就是A的子集，元素都属于a。
所以，阿列夫ω作为集合该怎么定义？对X用并集公理是写作∪X。
被启示者：阿列夫ω∪阿列夫n=阿列夫ω，n∈ω。
——……也行，不过n一般是表示自然数，所以∪{阿列夫ω×n：n∈ω}也是可以的，取并集的话，你跳重点的阿列夫ω×n就够了，更多其它元素都不会有什么增长，
不过的确，极限基数的一般定义是：
如果a是极限序数，则阿列夫a=∪{阿列夫b：b∈a}
后继基数的情况则是，阿列夫a+1=H(阿列夫a)。
这里可以看得出即使是对于ω这个集宇宙中最小的无限，也依旧是严格按照不存在边界限制来对待的，所有涉及超限序数的定义都需要提供极限阶段和后继阶段两套定义，而现在，你脑中能乍一下想到的相当大的基数是什么？
被启示者：阿列夫阿列夫……阿列夫0。
——你这个写法不存在，无限没有尽头，所以你这是一个叠了有些次的阿列夫数？不过确实也就是这样大，
而到现在为止，我们遭遇的阿列夫a都有一个共同特点，那就是阿列夫a大于a，
比如阿列夫0大于0，阿列夫1大于1，阿列夫阿列夫1大于阿列夫1，差距是越来越大。
那么在一个由所有序数构成的序列中，这个序列是否能足够长，以至于其中会出现这样的序数a，使得a就是第a个阿列夫数？
来，写出符合这个条件的集合。
提示：得到阿列夫ω的过程，和极限基数的定义。
被启示者：ω_a=a，H（a）≤a。
——H（a）≤a 这是矛盾式，这里的大都是在谈序数大，而基数也不可能，H（a）就是跳到下一个基数。
阿列夫ω的时候，我们得到的是阿列夫1，阿列夫2，阿列夫3，……
而现在，我们能得到：
{阿列夫0，阿列夫阿列夫0，阿列夫阿列夫阿列夫0，……}。
我且问你，假设阿列夫a=∪{阿列夫0，阿列夫阿列夫0，阿列夫阿列夫阿列夫0，……}，那么这个阿列夫a的a有多大？
被启示者：a={0，阿列夫0，阿列夫阿列夫0，……}。
——为什么？如果某个阿列夫b大于阿列夫ω，那么它就至少是第ω个无穷基数之和的基数，比如阿列夫ω+n之类的。
被启示者：阿列夫a={阿列夫0，阿列夫阿列夫0，阿列夫阿列夫阿列夫0，……}，等号左右两边各去掉一个阿列夫……
——我说你有看懂吗？
被启示者：大概懂……
——如果某个阿列夫b大于阿列夫ω，那么它就至少是第ω个无穷基数之和的基数，比如阿列夫ω+n之类的，
如果某个阿列夫b大于阿列夫阿列夫ω，那么它至少会是第阿列夫ω个基数之后的基数。
提示，阿列夫a从来都是表达它是第a个无穷基数，
假设：阿列夫a=∪{阿列夫0，阿列夫阿列夫0，阿列夫阿列夫阿列夫0，……}，那么这个阿列夫a的a有多大？
被启示者：a＞阿列夫0，阿列夫阿列夫0，阿列夫阿列夫阿列夫0，……，因为a=sup{阿列夫0，阿列夫阿列夫0，阿列夫阿列夫阿列夫0，……}。
——所以说这是怎么从
阿列夫a=∪{阿列夫0，阿列夫阿列夫0，阿列夫阿列夫阿列夫0，……}
这个前提中得到的？
被启示者：取去极限啊！
——参考极限基数的定义：阿列夫a=∪{阿列夫b:b∈a}。